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直觉主义:外尔的数学哲学思想
2017年04月18日 09:52 来源:中国社会科学网-中国社会科学报 作者:王涛 邓明立 字号

内容摘要:与此同时,他还是一位重要的数学哲学家,是直觉主义的代表人物之一。外尔的数学哲学与数学紧密相连,是他从事教学研究的出发点与终极目标。当然,他的数学哲学思想并非一蹴而就,而是有一个逐渐形成的过程。从这里我们可以看出,尽管外尔深受希尔伯特的影响,并且采用了希尔伯特的公理化方法定义二维流形与黎曼面,但他的内心并没有排斥数学直觉,相反还将其放在了一个很重要的位置。而在数学哲学上,外尔受到布劳威尔的影响,逐渐走上了直觉主义的道路,与希尔伯特分道扬镳。外尔对直觉主义概念和直觉主义所使用的逻辑做出了严格的陈述,使得直觉主义在20世纪前三十年成为与罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义并列的三大学派之一。

关键词:数学;外尔;希尔伯特;黎曼面的;直觉主义;哲学;数论;二维流;克莱因;研究

作者简介:

  赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)是20世纪伟大的数学家之一,在分析、代数、数论、拓扑、几何等方面都有巨大贡献。与此同时,他还是一位重要的数学哲学家,是直觉主义的代表人物之一。外尔的数学哲学与数学紧密相连,是他从事教学研究的出发点与终极目标。当然,他的数学哲学思想并非一蹴而就,而是有一个逐渐形成的过程。

  1885年,外尔出生于德国汉堡附近的一个小镇。在中学时代,他喜欢上了数学与物理这两门学科。在中学的最后一年,外尔在家中翻看了一本康德的《纯粹理性批判》,立刻就被康德的观点打动。康德关于几何学命题是先天综合判断的论述,使得外尔深信不疑。在中学毕业之际,他已经成为康德哲学的崇拜者。

  1904年,外尔进入哥廷根大学的哲学系学习数学。当时的哥廷根大学是世界数学中心,克莱因与希尔伯特是这个中心的缔造者。数学在当时正经历着翻天覆地的变化,有关数学基础的讨论格外受到重视。希尔伯特1899年发表的《几何基础》,采用形式化的公理化方法重新建立了几何学的基础。这是外尔第一次见识到,通过公理的改变可以产生各种各样的几何。而他此前信奉的康德几何哲学彻底瓦解了,这种震撼与影响可想而知。

  从那以后,外尔开始从希尔伯特那里学习各种数学知识。大学第一年,他选择了希尔伯特“化圆为方与数的理论”的课程;第二年暑假又在基础知识准备不足的情况下,完全凭借一腔热情研读了希尔伯特的《数论报告》。希尔伯特当时正在研究积分方程,外尔则选定了奇异积分方程作为自己博士学位论文的研究课题。1908年,他在希尔伯特的指导下顺利取得了博士学位。

  经过资格演讲,外尔于1910年成为哥廷根大学的无薪讲师。在随后的两年内,外尔先后给学生开设了复函数论与黎曼面的课程。在讲授黎曼面的过程中,外尔发现教材内容陈旧,像黎曼面这样的概念竟然连定义都没有,只能诉诸于直观,这是极其不严谨的。他对这些教材都不满意,于是开始一边讲课一边撰写自己的讲义。

  黎曼面的本质是什么?外尔意识到它应该是一个二维流形,二维流形应该就是曲面。那如何定义曲面?外尔想到了希尔伯特在《几何基础》中采用邻域及其映射的方法来定义平面,认为将它推广到曲面应该没有太大困难。就这样,受希尔伯特的启发,外尔给出了二维流形的严格定义,并以此定义了黎曼面。

  1913年,外尔将他关于黎曼面的讲义进行整理,出版了《黎曼面的概念》。这部著作被收录到“哥廷根数学系列讲义”中,位列第五本。这是一个什么样的荣誉?该系列前四本著作的作者分别是克莱因、闵科夫斯基、福格特与庞加莱。可见,《黎曼面的概念》的出版标志着外尔开始跻身一流数学家的行列。

  《黎曼面的概念》出版后,很多人都肯定外尔首次给出了黎曼面严格的定义。外尔对自己的这一工作也很满意,他曾在序言中如是写道:“这本书的目的是以一种符合现代严谨要求的方式,发展黎曼函数论的基本思想。这样的一个严格表述,特别是基础的位置分析方面的概念与定理,不依赖于直观的有效性,而应该是集合论。”但与此同时,外尔也表达了对逻辑化与形式化的担忧,认为数学逻辑化或者形式化并不是数学发展的最终目标。他在序言中继续写道:“不可否认,诸如曲线、函数的定义,它们的严格化是必要的、有益的,但在数学发展的今天,它们也引起一些不健康的现象。”外尔担忧数学过度逻辑化或形式化会产生“不健康”的现象,那这些“不健康”的现象是什么呢?克莱因曾经就群的形式化定义发表过这样的看法:“这种定义使得想象力消退了,逻辑骨架则显露无疑。这种抽象的陈述是极其出色的,但是它完全不是为了发现新思想和新方法……它使得这门学科对于学习者难多了,他们不知道这些定义是从哪里来的,对他们的想象力绝未提供任何东西。”外尔的担忧想必与克莱因的看法无异。实际上,尽管外尔采用了形式化的公理化方法定义了黎曼面,但在具体的教学中,他还是采用了直观的方式讲解黎曼面,认为这种方式有助于学生更好地理解和掌握黎曼面的概念。从这里我们可以看出,尽管外尔深受希尔伯特的影响,并且采用了希尔伯特的公理化方法定义二维流形与黎曼面,但他的内心并没有排斥数学直觉,相反还将其放在了一个很重要的位置。

  就在《黎曼面的概念》出版的同一年,外尔受聘为瑞士苏黎世联邦理工大学教授。到苏黎世后,外尔的研究开始遍及整个数学领域。而在数学哲学上,外尔受到布劳威尔的影响,逐渐走上了直觉主义的道路,与希尔伯特分道扬镳。外尔对直觉主义概念和直觉主义所使用的逻辑做出了严格的陈述,使得直觉主义在20世纪前三十年成为与罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义并列的三大学派之一。

 

  (作者单位:南方科技大学数学系;河北师范大学数学与信息科学学院)

 

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